cone

INTRODUÇÃO

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

CLASIFICAÇÃO

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.

PARTES DE UM CONE

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

FORMULAS

O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do cilindro com as mesmas dimensões, i.e. . O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo, a 1/4 da distância da base ao eixo.A área da superfície de um cone A é dada por A = πr(r + s), onde seria a altura lateral do cone. O primeiro termo na área da fórmula, πr2, é a área da base; enquanto que o segundo termo, πrs, é a área da superfície inclinada.Já a área total é a área lateral mais a área da base: .

cilindro

INTRODUÇÃO
Em Matemática,um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. .

FORMAÇÃO DO CILINDRO
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido,usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

INDENTIFICAÇÃO DO CILINDRO


Um cilindro,se divide em vários elementos,como:
1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.
CLASIFICAÇÃO

Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.

Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.



ÁREA LATERAL E TOTAL DO CILINDRO.

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Para entender essa afirmação, retire as bases de um cilindro, corte sua superfície lateral sobre uma geratriz e, por fim, planifique (coloque sobre um plano) as três regiões obtidas.
A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja: Aℓ = 2 π r h A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja: At = 2 π r h + π r2 + π r2 → At = 2π r h + 2π r2

VOLUME
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = A(base) h
Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:
V = pi r² h

pirâmide

Pirâmide


Utilizaremos R[z] para denotar a raiz quadrada de z>0

O conceito de pirâmide
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É a altura de cada face lateral.
8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
Classificação das pirâmides pelo número de lados da base
triangular
quadrangular
pentagonal
hexagonal
base:triângulo
base:quadrado
base:pentágono
base:hexágono

Pirâmide Regular reta
Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.
R
raio do circulo circunscrito
r
raio do círculo inscrito
l
aresta da base
ap
apótema de uma face lateral
h
altura da pirâmide
al
aresta lateral
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Área Lateral de uma pirâmide
Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.
No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.
As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
A(lateral) = n A(face)
Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.
Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:
A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:
(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]
A área da face e a área lateral, são dadas por:
A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide
A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?
Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:
A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162A(lateral) = 4.162 = 648A(base) = 18² = 324
Concluímos que:
A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.
A(base) = 2.2 = 4 m²A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³
Logo, a área total da barraca é
A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3) A(base) h
Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².
A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide
Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:
1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.
V(seção)
Volume da seção até o vértice(volume da pirâmide menor)
V(piram)
Volume da pirâmide (maior)
A(seção)
Área da seção transversal(base da pirâmide menor)
A(base)
Área da base da pirâmide (maior)
h
Distância do vértice à seção(altura da pirâmide menor)
H
Altura da pirâmide (maior)

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?
Como
V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³
V(pirMenor)/108 = 6³/9³
V(pirMenor) = 32
então
V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³