sexta-feira, 7 de setembro de 2007

pirâmide





Pirâmide


Utilizaremos R[z] para denotar a raiz quadrada de z>0



O conceito de pirâmide
Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É a altura de cada face lateral.
8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
Classificação das pirâmides pelo número de lados da base
triangular
quadrangular
pentagonal
hexagonal
base:triângulo
base:quadrado
base:pentágono
base:hexágono

Pirâmide Regular reta
Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.
R
raio do circulo circunscrito
r
raio do círculo inscrito
l
aresta da base
ap
apótema de uma face lateral
h
altura da pirâmide
al
aresta lateral
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Área Lateral de uma pirâmide
Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.
No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.
As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:
A(lateral) = n A(face)
Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.
Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:
A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:
(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]
A área da face e a área lateral, são dadas por:
A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide
A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?
Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:
A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162A(lateral) = 4.162 = 648A(base) = 18² = 324
Concluímos que:
A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.
A(base) = 2.2 = 4 m²A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³
Logo, a área total da barraca é
A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3) A(base) h
Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².
A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide
Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:
1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.
V(seção)
Volume da seção até o vértice(volume da pirâmide menor)
V(piram)
Volume da pirâmide (maior)
A(seção)
Área da seção transversal(base da pirâmide menor)
A(base)
Área da base da pirâmide (maior)
h
Distância do vértice à seção(altura da pirâmide menor)
H
Altura da pirâmide (maior)

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?
Como
V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³
V(pirMenor)/108 = 6³/9³
V(pirMenor) = 32
então
V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

14 comentários:

papo kbeça disse...

Esse trabalho encrementou meu aprendizado na area de pirâmide por exemplo:que cada piramide e nomiada de acordo com o n° de lados exemplo se tem 4 lados ele é quadrangular com 5 lados pentagonal entre outros
aprendi tambem q o volume de uma piramide e medido por sua área A e sua altura H e q em uma piramide pode ser identificado varios elementos como a vértice, apótema,face lateral e base,aprendi tambem q uma Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular

carlos rangel disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Bruno disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
Bruno disse...

Este trabalho otimamente confeccionado trouxe além de informações importantes sobre cálculos para descoberta de Volume, Área Lateral, Altura e outras partes da Pirâmide, serviu também para relembrar conhecimentos antigos sobre o assunto na disciplina de história, por exemplo o fato das pirâmides do Egito servirem de locais de adoração aos seus deuses. Vem também trazer informações sobre cada um dos elementos da pirâmide detalhadamente, sendo eles: base,
vértice, eixo, altura, faces laterais, arestas laterais, superfície lateral, apótema e aresta da base.
Leia, entenda, estude e amplie seus conhecimentos sobre Pirâmides.

carlos rangel disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
carlos rangel disse...

Este assunto,nos mostro,além da importância das pirâmides,o conhecimento de seus elementos,e aprender,também,a calcular o seu volume e área.E para finalizar,apredemos suas clasificações de acordo com o número de linhas,que se divide em:triangular
quadrangular
pentagonal
hexagonal
base:triângulo
base:quadrado
base:pentágono
base:hexágono

carlos rangel disse...

Esse trabalho,nos mostro também,a impotância do cilíndro.Pois ele,está sempre em nosso dis-a-dia,como:na cozinha,nas construções,nas tubulações,etc.
Aprendemos,que ele também possui seus elementos,como a base;eixo;altura;superficie,área,etc.E também ele possui sua classificação que é:reto e oblíquo.

lorena disse...
Este comentário foi removido pelo autor.
lorena disse...

Falar sobre objetos geometricos é sempre um prazer, mais falar sobre eles é muito mais que copiar... Requer conhecimento, e isso acredito que a equipe construiu e bem mais que isto conquistou.
O volume de uma pirâmide depende da altura e da area.
O cilindro é um objeto que também nos desperta interesse, o seu volume depende da area da base do cilindro e da sua altura.

jorge disse...

Esse trabalho encrementou meu aprendizado na area de pirâmide por exemplo:que cada piramide e nomiada de acordo com o n° de lados exemplo se tem 4 lados ele é quadrangular com 5 lados pentagonal entre outros
aprendi tambem q o volume de uma piramide e medido por sua área A e sua altura H e q em uma piramide pode ser identificado varios elementos como a vértice, apótema,face lateral e base,aprendi tambem q uma Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular

carlos rangel disse...

Cones,como piramide e cilindros,ele possui seus elementos,como:vertici,base,eixo,geratriz e altura.Cones podem se dividirem em retos e oblíquos.Então aprendemos ao decorrer do trabalho,que ambos(Pirâmide,cilindro e cone)possui um ponto em comum,+ também lembrando que possui alguns pontos de diferença.

thiago disse...

o aprendizado foi muito proveitoso por que e alem de ser um bom aprendizado em matematica e geometria por que fala sobre piramide , vertice,e face lateral entre outros.
foi bom para todos nós q é um aprendizado a mais para todos sem ter o maximo que tem q todos ser estudioso e ver mais formas de estudar pela internete

Fael disse...

Saber e vir a conhecer cada item que estudamos,faz com que venhamos adquirir conhecimento necessário
para um bom desenvolvimento intlectual,mostrando assim que podemos ser capaz de observar além do cotidiano um espaço que sobre-tudo,nos leva a acreditar no amplo mundo de desafios para um progresso futuro.
Esse trabalho me levou a conhecer melhor a respeito das piâmides,e muitas outras facetas que não, conhecia,além de saber da importancia que as pirâmides representavam para os antepassados egípcios,pois também serviu de túmulo para o rei do egito,Faraó.Visitado hoje e admirado por muitos visitantes,por ser umas das sete maravilhas do mundo.
Na matemática ela serve de base para medidas de vértice,onde podemos desenvolver e usar o raciocínio lógico para calcularmos,volume,área lateral,altura,etc.
Acredito que,esse trabalho venha me prorcionar mais e mais conhecimentos sobre a matemátca.

jorge disse...

esse comentario foi postado por mim rodrigo simião

esse trabalho ajudou não só a mim como a equipe toda a entender mais a geometria e a matemática em sí apren di sobre o assunto de piramide que a vértice é o ponto mais afastado da base que é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide, sobre cone aprendi que O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do cilindro com as mesmas dimensões.